Название реки Аюк имеет перевод с Адыгского (Черкесского) языка, Адыго-Абхазская языковая группа,
а вот русское жаргонное слово "Каюк", как и большинство подобных слов в русском языке (сабантуй, бардак, базар, не бельмес и т.д.), заимствовано с тюркских языков, в частности с татарского..))